우리 주변에는 다양한 모양의 도형이 있습니다.
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형처럼 꼭짓점이 여러 개 있는 다각형에서는
‘대각선’이라는 새로운 개념이 등장합니다.
오늘은 초등학교 4학년 수학 교과서에서 다루는 대각선의 정의와 공식을
쉽고 자세하게 정리해 보겠습니다.
1. 대각선이란?
‘대각선’이란 다각형에서 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 말합니다.
즉, 바로 옆에 있는 꼭짓점이 아닌 건너편 꼭짓점과 연결된 선이죠.
예를 들어, 삼각형은 모든 꼭짓점이 서로 이웃하고 있기 때문에 대각선이 없습니다.
하지만 사각형, 오각형, 육각형처럼 꼭짓점이 4개 이상인 다각형에서는
이웃하지 않은 꼭짓점끼리 선을 그을 수 있어요.
그 선이 바로 대각선입니다.
2. 예시로 알아보는 대각선
🔸 사각형의 대각선
사각형에는 꼭짓점이 4개 있습니다.
한 꼭짓점에서 자기 자신을 제외하고,
이웃한 두 꼭짓점을 제외하면 남은 꼭짓점은 1개예요.
따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 1개이고,
이 과정을 모든 꼭짓점에서 반복하면 총 4개의 연결선이 생깁니다.
하지만 같은 대각선이 두 번씩 그려지므로,
결과적으로 사각형의 대각선은 2개입니다.
🔸 오각형의 대각선
오각형에는 꼭짓점이 5개 있습니다.
한 꼭짓점에서 자기 자신(1개)과 이웃한 두 꼭짓점(2개)을 제외하면
남은 2개의 꼭짓점과 연결할 수 있습니다.
즉, 한 꼭짓점에서 2개의 대각선을 그을 수 있고,
모든 꼭짓점에서 그으면 총 10개의 선이 생깁니다.
이때 역시 같은 대각선이 중복으로 그려졌기 때문에 2로 나눠야 하죠.
따라서 오각형의 대각선 수는 5 × 2 ÷ 2 = 5개입니다.
3. 대각선의 수를 구하는 공식
다각형의 대각선의 수는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다.
👉 대각선의 수 = n(n - 3) ÷ 2
여기서 n은 꼭짓점의 수(=변의 수)를 의미합니다.
이 공식은 조금 복잡해 보이지만,
단계별로 살펴보면 아주 간단합니다.
< 공식의 원리>
1️⃣ 먼저 n개의 꼭짓점이 있을 때,
모든 꼭짓점끼리 연결할 수 있는 선분의 개수는 n(n - 1) ÷ 2입니다.
이는 모든 점을 한 번씩 연결한 결과예요.
2️⃣ 하지만 여기에는 다각형의 변도 포함되어 있습니다.
변은 n개이므로, 전체 선분 수에서 변의 수 n을 빼주면
대각선의 수가 됩니다.
따라서
대각선 수 = n(n - 1)/2 - n = n(n - 3)/2
이렇게 정리됩니다.
4. 왜 (n - 3)일까?
모든 꼭짓점은 자신을 제외한 (n - 1)개의 다른 꼭짓점과 연결할 수 있습니다.
그런데 이 중에서 이웃한 두 꼭짓점은 다각형의 ‘변’이 되므로 대각선이 아니죠.
따라서 자기 자신 1개와 이웃한 2개를 제외하면
(n - 3)개의 꼭짓점과 대각선을 이을 수 있습니다.
즉,
한 꼭짓점에서 (n - 3)개의 대각선을 그을 수 있고,
모든 꼭짓점에서 그으면 n(n - 3)개지만,
같은 대각선이 두 번씩 그려지므로 2로 나눈다 —
이것이 바로 n(n - 3) ÷ 2 공식의 의미입니다.
5. 실제 예시로 계산해보기
도형별로 직접 계산해볼까요?
삼각형(꼭짓점 3개) → 3(3 - 3) ÷ 2 = 0
→ 대각선이 없습니다.
사각형(꼭짓점 4개) → 4(4 - 3) ÷ 2 = 2
→ 대각선 2개
오각형(꼭짓점 5개) → 5(5 - 3) ÷ 2 = 5
→ 대각선 5개
육각형(꼭짓점 6개) → 6(6 - 3) ÷ 2 = 9
→ 대각선 9개
칠각형(꼭짓점 7개) → 7(7 - 3) ÷ 2 = 14
→ 대각선 14개
팔각형(꼭짓점 8개) → 8(8 - 3) ÷ 2 = 20
→ 대각선 20개
이처럼 꼭짓점이 하나씩 늘어날 때마다
대각선의 개수도 빠르게 많아지는 걸 알 수 있습니다.
6. 대각선 공식 쉽게 외우는 방법
대각선 공식은 이렇게 외워보세요.
“대각선의 수 = 꼭짓점 수 × (꼭짓점 수 - 3) ÷ 2”
이 문장을 입으로 여러 번 읽어보면 공식이 자연스럽게 외워집니다.
또한 직접 도형을 그리면서 대각선을 하나씩 세어보면
공식의 원리가 눈에 보이기 때문에 훨씬 이해가 빨라집니다.
7. 대각선 문제 예시
문제 1. 육각형의 대각선은 몇 개일까요?
→ 6(6 - 3) ÷ 2 = 9개
문제 2. 팔각형의 대각선은 몇 개일까요?
→ 8(8 - 3) ÷ 2 = 20개
문제 3. 오각형과 칠각형의 대각선 차이는?
→ 14 - 5 = 9개
직접 손으로 그리며 선을 연결해보면
공식보다 훨씬 재미있게 익힐 수 있습니다.
※ 마무리 정리
✔️ 대각선이란?
→ 다각형에서 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선
✔️ 대각선의 공식
→ n(n - 3) ÷ 2
✔️ 기억해야 할 핵심 포인트
- 삼각형에는 대각선이 없다.
- 사각형부터 대각선이 생기기 시작한다.
- 꼭짓점이 늘어날수록 대각선 수도 빠르게 늘어난다.
대각선은 단순히 선을 그어보는 활동이 아니라,
도형의 구조와 관계를 이해하는 중요한 수학 개념입니다.
직접 도형을 그리고, 꼭짓점을 이어보면서
수학이 얼마나 규칙적인지 느껴보세요